La réciproque du théorème de Pythagore - Cours⚓
Des citations pour commencer...
« Les nombres gouvernent le monde. »
Pythagore
« Une vraie rencontre provoque une influence réciproque. »
Boris Cyrulnik - Sauve-toi, la vie t'appelle (2012)
« - Vous croyez en Dieu Capitaine ? »
« - J'ai arrêté... C'était pas réciproque. »
Contre-Enquête (2006)
Méthode : Enoncé
Si la somme des carrés des longueurs de deux côtés d'un triangle est égale au carré de la longueur du troisième côté,
Alors ce triangle est rectangle (et le troisième côté est l'hypoténuse du triangle rectangle).
Complément :
Une telle égalité ne peut être constatée qu'en additionnant les carrés des longueurs des deux côtés les plus courts.
Méthode : Illustration
Le plus long côté de ce triangle est le côté \([TI]\).
Le carré de la longueur de ce côté est donc \(TI²\).
Les deux côtés les plus courts sont \([RT]\) et \([RI]\).
La somme des carrés de ces longueurs est donc \(RT²\ +\ RI²\).
On en déduit que :
« Si \(TI²\ =\ RT²\ +\ RI²\), alors le triangle \(TRI\) est rectangle en \(R\). »
Méthode : Utilisation
La réciproque du théorème de Pythagore sert à prouver qu'un triangle est rectangle.
Exemple : Prouver qu'un triangle est rectangle
\(ABC\) est un triangle tel que \(AB\ =\ 8\ cm\), \(AC\ =\ 15\ cm\) et \(BC\ =\ 17\ cm\).
Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ?
On commence par repérer quel est le plus long côté :
\([BC]\) est le plus long côté.
On calcule ensuite séparément le carré de ce côté et la somme des carrés des deux autres côtés, de manière à pouvoir comparer ensuite les valeurs obtenues.
\(BC²\ =\ 17²\)
\(BC²\ =\ 289\)
\(AB²\ +\ AC²\ =\ 8²\ +\ 15²\)
\(AB²\ +\ AC²\ =\ 64\ +\ 225\)
\(AB²\ +\ AC²\ =\ 289\)
On compare les deux quantités calculées :
Donc \(AB²\ +\ AC²\ =\ BC²\ (=\ 289)\)
On conclut :
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
Exemple : Prouver qu'un triangle n'est pas rectangle
\(ABC\) est un triangle tel que \(AB\ =\ 30\ m\) ; \(AC\ =\ 24\ m\) et \(BC\ =\ 20\ m\).
Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ?
On commence par repérer quel est le plus long côté :
\([AB]\) est le plus long côté.
On calcule ensuite séparément le carré de ce côté et la somme des carrés des deux autres côtés, de manière à pouvoir comparer ensuite les valeurs obtenues.
\(AB²\ =\ 30²\)
\(AB²\ =\ 900\)
\(AC²\ +\ BC²\ =\ 24²\ +\ 20²\)
\(AC²\ +\ BC²\ =\ 576\ +\ 400\)
\(AC²\ +\ BC²\ =\ 976\)
On compare les deux quantités calculées :
Donc \(AC²\ +\ BC² \neq\ AB²\ (976\ \neq\ 900)\)
On conclut :
Donc le triangle \(ABC\) n'est pas rectangle.
Attention : Prouver qu'un triangle n'est pas rectangle
Dans ce cas, rigoureusement, ce n'est pas la réciproque du théorème de Pythagore qui permet de conclure que le triangle n'est pas rectangle, mais une autre propriété ou un autre raisonnement qui se sont pas exigés en 4ème. C'est pourquoi il n'est pas fait mention de la réciproque dans la conclusion du raisonnement.