Introduction⚓
Présentation
Nous allons aborder une nouvelle propriété intitulée "Réciproque du théorème de Pythagore".
Le théorème de Pythagore, nous connaissons, nous l'avons déjà étudié.
Mais la réciproque...
Commençons par clarifier quelques points sur ce qu'est une propriété.
En mathématiques, une affirmation est :
soit toujours vraie
soit fausse
Exemple :
En mathématiques, une porte et soit ouverte, soit fermée.
L'affirmation "La porte est ouverte" est vraie dès que la porte n'est pas fermée.
Une porte entrouverte est donc une porte ouverte.
Propriété mathématique
Une propriété est une phrase qui est toujours vraie et qui peut toujours se présenter sous la forme suivante : Si (Affirmation A) Alors (Affirmation B).
L'affirmation A rassemble les conditions de cette propriété.
L'affirmation B rassemble les conclusions de cette propriété.
Exemple :
A partir de n'importe quelle paire d'affirmations, on peut fabriquer des phrases qui ressemblent à des propriétés.
\(\left.\begin{array}{ll} Affirmation\ A : & ABCD\ est\ un\ rectangle \\ Affirmation\ B :&Le\ nombre\ est\ pair\end{array}\right\} \Longrightarrow Si\ ABCD\ est\ un\ rectangle\ Alors\ Le\ nombre\ est\ pair\)
Cette phrase est évidemment absurde et donc totalement fausse. Ce n'est pas une propriété mathématique.
\(\left.\begin{array}{ll} Affirmation\ A : & ABCD\ est\ un\ rectangle \\ Affirmation\ B : &ABCD\ a\ 4\ angles\ droits\end{array}\right\} \Longrightarrow Si\ ABCD\ est\ un\ rectangle\ Alors\ ABCD\ a\ 4\ angles\ droits\)
Cette phrase est évidemment juste. Par définition, un rectangle a toujours 4 angles droits. C'est donc une propriété, au sens mathématique du terme.
Complément :
La plupart du temps, une propriété nécessite une démonstration pour établir la justesse de son énoncé, c'est-à-dire que la conclusion est toujours vraie du moment que la (ou les) condition(s) est (sont) vraie(s).
Exemple :
Imaginons une phrase de ce genre :
« Si il pleut au moment où je sors de chez moi, alors je prends mon parapluie. »
Admettons que cette phrase soit une propriété, c'est-à-dire qu'elle soit toujours vraie.
Cela signifie que, à chaque fois qu'il pleut au moment où je sors de chez moi, je prends systématiquement et sans aucune exception possible mon parapluie.
Même s'il ne pleut qu'un tout petit peu.
Même pour une seule goutte.
Quand je sors de chez moi, il n'y a que deux possibilités : soit il ne pleut pas du tout, soit il pleut.
Mais, s'il pleut, la condition de la propriété est vraie, donc la conclusion s'applique automatiquement et cette conclusion est obligatoirement vraie.
Passons maintenant à ce qui s'appelle la réciproque d'une propriété.
Vu du dictionnaire
Réciproque est un adjectif qui vient du latin reciprocus (qui revient au point de départ).
Il signifie : qui marque un échange équivalent entre deux personnes, deux groupes (par exemple : une amitié réciproque).
Méthode :
Pour obtenir l'énoncé réciproque d'une propriété, il suffit d'échanger les conditions et les conclusions.
Exemple :
Reprenons la "propriété" cité précédemment :
\(\left.\begin{array}{ll} Affirmation\ A : & Il\ pleut\ quand\ je\ sors\\ Affirmation\ B :&Je\ prends\ mon\ parapluie\end{array}\right\} \Longrightarrow Si\ Il\ pleut\ quand\ je\ sors\ Alors\ Je\ prends\ mon\ parapluie\)
L'énoncé réciproque de cette propriété serait donc :
\(\left.\begin{array}{ll} Affirmation\ A : & Je\ prends\ mon\ parapluie \\ Affirmation\ B : &Il\ pleut\ quand\ je\ sors\end{array}\right\} \Longrightarrow Si\ Je\ prends\ mon\ parapluie\ Alors\ Il\ pleut\ quand\ je\ sors\)
\(\\)
Un autre exemple :
\(\left.\begin{array}{ll} Affirmation\ A : & Je\ suis\ attentif(ve)\ en\ classe\\ Affirmation\ B :& Je\ ne\ discute\ pas\ avec\ mon(ma)\ voisin(e)\end{array}\right\} \Longrightarrow Si\ Je\ suis\ attentif(ve)\ en\ classe\ Alors\ Je\ ne\ discute\ pas\ avec\ mon(ma)\ voisin(e)\)
Cette affirmation peut être considérée comme une propriété. Elle est bien toujours vraie.
L'énoncé réciproque de cette propriété serait donc :
\(\left.\begin{array}{ll} Affirmation\ A : & Je\ ne\ discute\ pas\ avec\ mon(ma)\ voisin(e) \\ Affirmation\ B : &Je\ suis\ attentif(ve)\ en\ classe\end{array}\right\} \Longrightarrow Si\ Je\ ne\ discute\ pas\ avec\ mon(ma)\ voisin(e)\ Alors\ Je\ suis\ attentif(ve)\ en\ classe\)
\(\\)
Un dernier exemple un peu plus mathématique :
\(\left.\begin{array}{ll} Affirmation\ A : & x\ =\ 2\\ Affirmation\ B :& x\ est\ pair\end{array}\right\} \Longrightarrow Si\ x\ =\ 2\ Alors\ x\ est\ pair\)
Cette affirmation est une propriété. Elle est manifestement vraie.
L'énoncé réciproque de cette propriété serait donc :
\(\left.\begin{array}{ll} Affirmation\ A : & x\ est\ pair\\ Affirmation\ B : &x\ =\ 2\end{array}\right\} \Longrightarrow Si\ x\ est\ pair\ Alors\ x\ =\ 2\)
Complément :
L'énoncé réciproque d'une propriété est une énoncé qui ressemble à une propriété mais cet énoncé n'est pas nécessairement vrai et ne peut pas toujours prétendre au statut de propriété mathématique.
Pour prouver que ce nouvel énoncé est vrai, cela nécessite à nouveau une démonstration.
Exemple :
Reprenons la "propriété" cité précédemment \(Si\ Il\ pleut\ quand\ je\ sors\ Alors\ Je\ prends\ mon\ parapluie\) et son énoncé réciproque \(Si\ Je\ prends\ mon\ parapluie\ Alors\ Il\ pleut\ quand\ je\ sors\).
L'énoncé réciproque est totalement faux : personne n'a le pouvoir de faire tomber la pluie (même un tout petit peu) simplement en prenant son parapluie (en chantant faux non plus d'ailleurs).
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Pour l'autre exemple de "propriété" \(Si\ Je\ suis\ attentif(ve)\ en\ classe\ Alors\ Je\ ne\ discute\ pas\ avec\ mon(ma)\ voisin(e)\) et son énoncé réciproque \(Si\ Je\ ne\ discute\ pas\ avec\ mon(ma)\ voisin(e)\ Alors\ Je\ suis\ attentif(ve)\ en\ classe\), l'énoncé réciproque est aussi totalement faux : on trouve (trop souvent) des élèves qui ont la tête ailleurs (ou qui dorment) et ne sont donc pas attentifs, même sans bavarder.
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Pour le dernier exemple (celui qui est un peu plus mathématique) \(Si\ x\ =\ 2\ Alors\ x\ est\ pair\) et son énoncé réciproque \(Si\ x\ est\ pair\ Alors\ x\ =\ 2\), l'énoncé réciproque est encore totalement faux : il existe une infinité de nombres qui sont pairs et qui sont différents de \(2\) (\(4\) ; \(10\) ; \(33\ 110\) etc...).
Et Pythagore dans tout ça ?
Le théorème de Pythagore peut se résumer (pour faire simple) de la façon suivante :
\(\left.\begin{array}{ll} Affirmation\ A : & \text{Le triangle est un triangle rectangle}\\ Affirmation\ B :& \text{L'égalité de Pythagore est vraie}\end{array}\right\} \Longrightarrow Si\ \text{Le triangle est un triangle rectangle}\ Alors\ \text{L'égalité de Pythagore est vraie}\)
L'énoncé réciproque (appelé réciproque du théorème de Pythagore) serait donc :
\(\left.\begin{array}{ll} Affirmation\ A : & \text{L'égalité de Pythagore est vraie}\\ Affirmation\ B :& \text{Le triangle est un triangle rectangle}\end{array}\right\} \Longrightarrow Si\ \text{L'égalité de Pythagore est vraie}\ Alors\ \text{Le triangle est un triangle rectangle}\)
Nous admettrons (sans faire de démonstration, mais il en existe) que cet énoncé réciproque est, lui, totalement vrai et il fait donc l'objet de la leçon qui suit.