Des citations pour commencer

« Le papier d'emballage, soigneusement replié sur le petit côté du parallélépipède, bâille légèrement en un bec aux lignes précises, pointant obliquement vers le bas. »

Alain Robbe-Grillet - Le labyrinthe - 1959

« Un parallélépipède et un rectangle, c'est pareil. Pour ranger des biscuits, c'est parfait comme boîte. »

Jean-Marie Gourio - Brèves de comptoir - 1988

Définition : Repérer un point dans l'espace

Pour repérer un point dans le plan, deux coordonnées ont nécessaires : son abscisse et son ordonnée.

Pour repérer un point dans l'espace, il faut ajouter une troisième coordonnée appelée altitude (ou cote).

Pour déterminer les coordonnées d'un point de l'espace, il faut donc définir un repère constitué de trois axes, c'est-à-dire trois droites graduées qui ont la même origine.

Les 3 coordonnées d'un point M sont présentées sous la forme d'un triplet \((x, y, z)\) dans lequel \(x\) désigne l'abscisse, \(y\) l'ordonnée et \(z\) l'altitude.

Méthode : Repérer un point sur un parallélépipède rectangle

Dans le cas d'un point placé sur un parallélépipède rectangle, on fixe un repère en choisissant un des sommets du parallélépipède rectangle comme origine du repère et les trois axes sont portés par les arêtes ayant ce sommet comme extrémité.

Exemple : Choisir un repère de l'espace sur un parallélépipède rectangle

On considère un parallélépipède rectangle ABCDEFGH :

On peut choisir comme origine du repère le sommet D.

Les trois axes seront donc portés par les arêtes [DA], [DC] et [DH].

On peut choisir que (DC) est l'axe des abscisses, (DH) l'axe des ordonnées et (DA) l'axe des altitudes.

Il faut également choisir une graduation sur chacun des trois axes.

Le plus simple est de choisir que :

- le point C marque l'unité sur l'axe des abscisses.

- le point H marque l'unité sur l'axe des ordonnées.

- le point A marque l'unité sur l'axe des altitudes.

Un repère est noté en donnant toutes ces indications réunies sous la forme d'un quadruplet de points de cette forme : (Origine, Unité sur l'axe des abscisses, Unité sur l'axe des ordonnées, Unité sur l'axe des altitudes).

Le repère déterminé précédemment est donc noté (D ; C, H, A).

Méthode : Déterminer les coordonnées d'un point dans un repère de l'espace

Pour déterminer les coordonnées d'un point placé sur un parallélépipède rectangle dans un repère donné, il faut déterminer à quels nombres il correspond sur chacun des trois axes.

Le point I est le milieu de la face supérieure ABFE.

Si on imagine le parallélépipède rectangle ayant pour sommets l'origine D et le point I et construit en suivant des plans parallèles aux faces du parallélépipède rectangle ABCDEFGH, les cordonnées du point I sont lues sur les trois axes.

Les coordonnées du point I sont ici notées \((x, y, z)\).

Attention :

Les coordonnées d'un point dépendent totalement du choix du repère c'est-à-dire :

- de l'origine

- de l'ordre des axes choisis

- des échelles choisies sur chacun des axes

Exemple : Avec des origines différentes...

Dans le repère (D ; C, H, A), les coordonnées des points sont :

A (0 ; 0 ; 1)

B (1 ; 0 ; 1)

C (1 ; 0 ; 0)

D (0 ; 0 ; 0)

E (0 ; 1 ; 1)

F (1 ; 1 ; 1)

G (1 ; 1 ; 0)

H (0 ; 1 ; 0)

I (1 ; 1 ; 0,5)

J (0,5 ; 0,5 ; 1)

K (0,25 ; 0 ; 0)

Exemple : Avec des axes différents...

Dans le repère (C ; G, D, B), les coordonnées des points sont :

A (0 ; 1 ; 1)

B (0 ; 0 ; 1)

C (0 ; 0 ; 0)

D (0 ; 1 ; 0)

E (1 ; 1 ; 1)

F (1 ; 0 ; 1)

G (1 ; 0 ; 0)

H (1 ; 1 ; 0)

I (1 ; 0 ; 0,5)

J (0,5 ; 0,5 ; 1)

K (0 ; 0,75 ; 0)

Exemple : Avec des graduations différentes...

Dans le repère (H ; G, D, E), les coordonnées des points sont :

A (0 ; 1 ; 1)

B (1 ; 1 ; 1)

C (1 ; 1 ; 0)

D (0 ; 1 ; 0)

E (0 ; 0 ; 1)

F (1 ; 0 ; 1)

G (1 ; 0 ; 0)

H (0 ; 0 ; 0)

I (1 ; 0 ; 0,5)

J (0,5 ; 0,5 ; 1)

K (0,25 ; 1 ; 0)